최문섭의 신나는 수학여행 - 생활속 닮음과 수학의 닮음
“와~!! 진~~짜 똑같이 생겼다.” “워메, 어쩜 저리 닮았을까잉? 똑같네, 똑같아.”
가끔 우리는 부모님과 함께 걸어가는 가족의 생김새를 보면서 이 같은 감탄을 하곤 한다. 아마 이런 표현을 쓰게 되는 이유는 가족의 모습 속에서 크기는 다르지만 같은 모양의 어떤 닮은 것을 발견했기 때문이리라. 이와 같이 우리는 일상 속에서 다양한 닮음들을 만난다. 다만 일상에서의 닮음은 언뜻 보기에 비슷한 모양을 한 것을 말하지만 수학에서의 닮음은 모든 대응하는 것들의 ‘비율’이 정확히 같아야만 한다. 가령 일상생활에서는 두 산의 모양이 비슷하면 닮았다고 이야기할 수 있지만, 수학적으로 닮기 위해서는 그 산이 기울어진 각도 및 각 변의 길이의 비율이 모두 같아야만 한다.
이와 같은 닮음을 이용하여 인류는 고대부터 각종 건축 기술과 설계도, 측량 기술을 발전시켜 왔다. 그 한 예로 우리가 흔히 접하는 지도는 닮음비를 이용하여 실제의 땅 모양을 일정한 비율로 줄여서 좁은 지면 위에 나타낸 것이며, 이때의 축척이 닮음비이다. 비슷한 예가 되겠지만, 설계도 역시 닮음비를 이용하여 만들고자 하는 건물의 크기를 축소시켜서 나타낸 것이며, 설계도와 이에 의해 만들어진 집은 항상 닮은꼴이다. 이 외에도 너무 멀거나 높아서 또는 주변이 공사 중이거나 중간에 장애물이 있는 등의 여러 가지 이유로 떨어져 있는 두 곳의 거리나 높이를 잴 때도 닮음은 유용하다. 이때는 한두 가지의 거리나 각도 등을 재서 이와 닮음인 삼각형을 그린 후, 삼각형 속의 구하려는 곳의 길이를 재서 실제의 거리로 환산하면 구하기 어려운 거리나 높이를 손쉽게 구할 수 있다.
또한 일상에서 쓰는 물건에도 닮음을 이용하여 큰 효과를 본 것들이 있다. 그 중 대표적인 것은 복사용지, 전화번호부, 디자인잡지, 여성종합지 등을 만드는 데 흔히 쓰는 A4용지이다. 이 A4용지의 규격은 297㎜×210㎜인데, 하필이면 왜 숫자도 정확히 맞아 떨어지지 않는 이런 길이를 규격으로 정했을까. 사실 일상생활에서 늘 사용하는 여러 가지 용지들은 제지공장에서 만든 큰 규격의 용지를 절반으로 자르고, 또 다시 절반으로 자르는 과정을 반복해서 만들어낸다. 그런데 300×200㎜와 같은 종이는 절반으로 자르면 200×150㎜가 되어 처음 종이와는 가로, 세로의 비가 다르게 되므로 이를 처음과 같은 보기 좋은 형태로 만들려면 일부를 잘라서 버려야 한다.
그러면 부득이하게 많은 종이가 낭비되므로 독일공업규격위원회에서는 처음 종이를 반으로 자른 종이가 처음 종이 모양과 같게 되도록 종이의 규격을 제안했다. 즉, 큰 용지를 적절한 크기로 잘라서 타자용지로 사용하다가 필요하면 그것을 절반으로 잘라서 편지지로 사용하고, 또 그 절반을 잘라서 메모지로 사용하고…. 따라서 큰 용지의 긴 변과 짧은 변의 길이의 비를 약 1.414 대 1로 하면 사각형 종이의 긴 변을 반으로 접어서 자른 종이도 처음과 같은 모양이 되므로 버려지는 종이가 없게 된다. 그래서 실제로 전지인 A0의 규격을 1189×841㎜로 하게 되었으며, 이것을 그림과 같이 적당히 자르면 버리는 종이 없이 A4용지가 된다. 이렇듯 종이를 재단하는 경우조차 그 낭비를 최소로 줄이기 위해 수학이 이용된다. 지구를 위한다면 수학~! 더 발전시켜야 한다~!! ^^
최문섭
‘신나는 수학여행’ 집필은 ‘수학나눔연구회’ 소속 서울 대치동 유명 강사들이 맡는다. 수학나눔연구회(회장 최문섭)는 20명의 유명 강사들이 교육기부 및 재능기부를 통해 교육환경이 열악한 학생들의 수학 수준을 향상시키기 위해 노력하는 비영리단체다. 이를 위해 현재 무료 수학 인터넷 강의사이트인 ‘수제비넷(www.sujebi.net)’을 운영하고 있다. 대입설명회, 교육불모지의 방과후수업 강의지원, 중·고교 교재 집필, 각종 온라인 교육업체 출강 등으로 재원을 조달하고 있다. 수학나눔연구회 소속 강사들의 저서로는 『최상위 수학』『최고득점 수학』등이 있다
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박희성의 맛깔난 잉글리시 - 어느 것을 고를까요, 알아맞혀 보세요!
“어느 것을 고를까요 알아맞혀 보세요 딩동댕.” 이 어구가 어딘가 익숙지 않은가? 뭔지 모르겠다면 이건 어떨까. “코카콜라 맛있어. 맛있으면 또 먹어. 또 먹으면 배탈 나. 배탈 나면 병원 가. 병원 가면 딩 동 댕.” 어린 시절의 기억이 떠오르는가? 둘 중에 (혹은 여러 개 중에) 어느 것을 골라야 할지 쉽게 결정을 할 수 없는 상황에서, 아이들은 한 음절마다 손가락으로 대상을 바꿔 가리켜가며 위와 같은 노래를 부르곤 한다. 그러다가 마지막 음절인 “댕”에서 멈추는 대상을 선택하기로 하는 것이다. 혹은 술래잡기 놀이를 할 때 처음 술래를 결정하는 데 위와 같은 노래가 쓰이기도 한다. 누가 가르쳐준 적도 없는데 놀랍게도 대한민국 국민이라면 누구나 익숙하게 알고 있는 이런 노래.
놀랍게도 영어에도 비슷한 것이 있다. 바로 “Eeny, meeny, miny, moe (이니 미니 마이니 모)”이다. 우리의 “코카콜라 맛있어…”도 동네에 따라, 또 아이들에 따라 조금씩 다른 여러가지 판이 있는 것처럼 “Eeny, meeny, miny, moe”도 조금씩 다른 판이 있는데, 가장 대표적인 것은 다음과 같다.
Eeny, meeny, miny, moe,
Catch a tiger by the toe.
If he hollers, let him go,
Eeny, meeny, miny, moe.
이와 같은 것을 영어로는 ‘counting rhyme’이라고 부른다. 연마다 마지막 단어가 “모-, 토-, 고-, 모-” 이렇게 “오-”라는 모음으로 끝난다는 점에서 운율(rhyme)이 맞는 일종의 노래 가락이다. 보통 우리들처럼 여러 개의 대상 중 어느 것을 골라야 할지 쉽게 마음을 정하지 못하고 있는 상황이라거나, 아니면 술래잡기나 숨바꼭질 같은 놀이에서 술래를 정할 때 사용한다. 여러명의 아이들이 모여 하나의 음절마다 한 명씩 손가락으로 가리켜가며 이 노래를 부르고, 마지막 음절에 멈추는 사람이 술래가 되는 것이다. 참고로 술래는 영어로 it이라고 한다. “You are it!(네가 술래야!)”
백문이 불여일견이라 했다. 최첨단 스마트폰 시대, 스마트폰을 똑똑하게 한번 활용해 보자. 스마트폰으로 다음 유튜브 영상을 한번 찾아보라. http://www.youtube.com/watch?v=xI75mQRk7Xw 한 꼬마아이가 여러 개의 빵을 놓고 위 라임을 부르며 “Eeny Meeny Mino Moe~(어느 것을 고를까요~)”를 하고 있는 모습을 볼 수 있다.
다음 영상도 한번 찾아보자. http://www.youtube.com/watch?v=YDto12_h024 이 영상은 꼬마 아이들이 숨바꼭질(Hide and Seek)놀이를 하는 것을 한 부모가 영상으로 담은 것인데, 3~5세 정도의 귀여운 꼬마들이 “Eeny Meeny Miny Moe”를 부르며 술래를 정하는 모습을 볼 수 있다. 이 아이들이 부르는 라임은 위와는 뒷부분이 조금 다른데, 마지막 어구가 “you are it”인 것도 주의 깊게 들어보자.
박희성
‘맛깔난 잉글리시’ 필자 박희성 씨는 고려대에서 영어교육을 전공했다. 현재 메가유티 편입학원에서 다양한 온·오프라인 강의를 하고 있으며 7년째 에몽잉글리시(EmongEnglish.net)를 운영해 오고 있다. 국내 최대 수험생 커뮤니티인 <오르비>와 <네이버 카페 수만휘>에서 ‘에몽’이라는 필명으로 활동하고 있다. 영어로 어려움을 겪는 학생들에게 멘토이자 칼럼니스트로 많은 도움도 주고 있다. 대표 저서로는 『에몽의 수능영어 독해기술』『에몽의 영문법의 재발견』등이 있다.
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“와~!! 진~~짜 똑같이 생겼다.” “워메, 어쩜 저리 닮았을까잉? 똑같네, 똑같아.”
가끔 우리는 부모님과 함께 걸어가는 가족의 생김새를 보면서 이 같은 감탄을 하곤 한다. 아마 이런 표현을 쓰게 되는 이유는 가족의 모습 속에서 크기는 다르지만 같은 모양의 어떤 닮은 것을 발견했기 때문이리라. 이와 같이 우리는 일상 속에서 다양한 닮음들을 만난다. 다만 일상에서의 닮음은 언뜻 보기에 비슷한 모양을 한 것을 말하지만 수학에서의 닮음은 모든 대응하는 것들의 ‘비율’이 정확히 같아야만 한다. 가령 일상생활에서는 두 산의 모양이 비슷하면 닮았다고 이야기할 수 있지만, 수학적으로 닮기 위해서는 그 산이 기울어진 각도 및 각 변의 길이의 비율이 모두 같아야만 한다.
이와 같은 닮음을 이용하여 인류는 고대부터 각종 건축 기술과 설계도, 측량 기술을 발전시켜 왔다. 그 한 예로 우리가 흔히 접하는 지도는 닮음비를 이용하여 실제의 땅 모양을 일정한 비율로 줄여서 좁은 지면 위에 나타낸 것이며, 이때의 축척이 닮음비이다. 비슷한 예가 되겠지만, 설계도 역시 닮음비를 이용하여 만들고자 하는 건물의 크기를 축소시켜서 나타낸 것이며, 설계도와 이에 의해 만들어진 집은 항상 닮은꼴이다. 이 외에도 너무 멀거나 높아서 또는 주변이 공사 중이거나 중간에 장애물이 있는 등의 여러 가지 이유로 떨어져 있는 두 곳의 거리나 높이를 잴 때도 닮음은 유용하다. 이때는 한두 가지의 거리나 각도 등을 재서 이와 닮음인 삼각형을 그린 후, 삼각형 속의 구하려는 곳의 길이를 재서 실제의 거리로 환산하면 구하기 어려운 거리나 높이를 손쉽게 구할 수 있다.
또한 일상에서 쓰는 물건에도 닮음을 이용하여 큰 효과를 본 것들이 있다. 그 중 대표적인 것은 복사용지, 전화번호부, 디자인잡지, 여성종합지 등을 만드는 데 흔히 쓰는 A4용지이다. 이 A4용지의 규격은 297㎜×210㎜인데, 하필이면 왜 숫자도 정확히 맞아 떨어지지 않는 이런 길이를 규격으로 정했을까. 사실 일상생활에서 늘 사용하는 여러 가지 용지들은 제지공장에서 만든 큰 규격의 용지를 절반으로 자르고, 또 다시 절반으로 자르는 과정을 반복해서 만들어낸다. 그런데 300×200㎜와 같은 종이는 절반으로 자르면 200×150㎜가 되어 처음 종이와는 가로, 세로의 비가 다르게 되므로 이를 처음과 같은 보기 좋은 형태로 만들려면 일부를 잘라서 버려야 한다.
그러면 부득이하게 많은 종이가 낭비되므로 독일공업규격위원회에서는 처음 종이를 반으로 자른 종이가 처음 종이 모양과 같게 되도록 종이의 규격을 제안했다. 즉, 큰 용지를 적절한 크기로 잘라서 타자용지로 사용하다가 필요하면 그것을 절반으로 잘라서 편지지로 사용하고, 또 그 절반을 잘라서 메모지로 사용하고…. 따라서 큰 용지의 긴 변과 짧은 변의 길이의 비를 약 1.414 대 1로 하면 사각형 종이의 긴 변을 반으로 접어서 자른 종이도 처음과 같은 모양이 되므로 버려지는 종이가 없게 된다. 그래서 실제로 전지인 A0의 규격을 1189×841㎜로 하게 되었으며, 이것을 그림과 같이 적당히 자르면 버리는 종이 없이 A4용지가 된다. 이렇듯 종이를 재단하는 경우조차 그 낭비를 최소로 줄이기 위해 수학이 이용된다. 지구를 위한다면 수학~! 더 발전시켜야 한다~!! ^^
최문섭‘신나는 수학여행’ 집필은 ‘수학나눔연구회’ 소속 서울 대치동 유명 강사들이 맡는다. 수학나눔연구회(회장 최문섭)는 20명의 유명 강사들이 교육기부 및 재능기부를 통해 교육환경이 열악한 학생들의 수학 수준을 향상시키기 위해 노력하는 비영리단체다. 이를 위해 현재 무료 수학 인터넷 강의사이트인 ‘수제비넷(www.sujebi.net)’을 운영하고 있다. 대입설명회, 교육불모지의 방과후수업 강의지원, 중·고교 교재 집필, 각종 온라인 교육업체 출강 등으로 재원을 조달하고 있다. 수학나눔연구회 소속 강사들의 저서로는 『최상위 수학』『최고득점 수학』등이 있다
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박희성의 맛깔난 잉글리시 - 어느 것을 고를까요, 알아맞혀 보세요!
“어느 것을 고를까요 알아맞혀 보세요 딩동댕.” 이 어구가 어딘가 익숙지 않은가? 뭔지 모르겠다면 이건 어떨까. “코카콜라 맛있어. 맛있으면 또 먹어. 또 먹으면 배탈 나. 배탈 나면 병원 가. 병원 가면 딩 동 댕.” 어린 시절의 기억이 떠오르는가? 둘 중에 (혹은 여러 개 중에) 어느 것을 골라야 할지 쉽게 결정을 할 수 없는 상황에서, 아이들은 한 음절마다 손가락으로 대상을 바꿔 가리켜가며 위와 같은 노래를 부르곤 한다. 그러다가 마지막 음절인 “댕”에서 멈추는 대상을 선택하기로 하는 것이다. 혹은 술래잡기 놀이를 할 때 처음 술래를 결정하는 데 위와 같은 노래가 쓰이기도 한다. 누가 가르쳐준 적도 없는데 놀랍게도 대한민국 국민이라면 누구나 익숙하게 알고 있는 이런 노래.
놀랍게도 영어에도 비슷한 것이 있다. 바로 “Eeny, meeny, miny, moe (이니 미니 마이니 모)”이다. 우리의 “코카콜라 맛있어…”도 동네에 따라, 또 아이들에 따라 조금씩 다른 여러가지 판이 있는 것처럼 “Eeny, meeny, miny, moe”도 조금씩 다른 판이 있는데, 가장 대표적인 것은 다음과 같다.Eeny, meeny, miny, moe,
Catch a tiger by the toe.
If he hollers, let him go,
Eeny, meeny, miny, moe.
이와 같은 것을 영어로는 ‘counting rhyme’이라고 부른다. 연마다 마지막 단어가 “모-, 토-, 고-, 모-” 이렇게 “오-”라는 모음으로 끝난다는 점에서 운율(rhyme)이 맞는 일종의 노래 가락이다. 보통 우리들처럼 여러 개의 대상 중 어느 것을 골라야 할지 쉽게 마음을 정하지 못하고 있는 상황이라거나, 아니면 술래잡기나 숨바꼭질 같은 놀이에서 술래를 정할 때 사용한다. 여러명의 아이들이 모여 하나의 음절마다 한 명씩 손가락으로 가리켜가며 이 노래를 부르고, 마지막 음절에 멈추는 사람이 술래가 되는 것이다. 참고로 술래는 영어로 it이라고 한다. “You are it!(네가 술래야!)”
백문이 불여일견이라 했다. 최첨단 스마트폰 시대, 스마트폰을 똑똑하게 한번 활용해 보자. 스마트폰으로 다음 유튜브 영상을 한번 찾아보라. http://www.youtube.com/watch?v=xI75mQRk7Xw 한 꼬마아이가 여러 개의 빵을 놓고 위 라임을 부르며 “Eeny Meeny Mino Moe~(어느 것을 고를까요~)”를 하고 있는 모습을 볼 수 있다.
다음 영상도 한번 찾아보자. http://www.youtube.com/watch?v=YDto12_h024 이 영상은 꼬마 아이들이 숨바꼭질(Hide and Seek)놀이를 하는 것을 한 부모가 영상으로 담은 것인데, 3~5세 정도의 귀여운 꼬마들이 “Eeny Meeny Miny Moe”를 부르며 술래를 정하는 모습을 볼 수 있다. 이 아이들이 부르는 라임은 위와는 뒷부분이 조금 다른데, 마지막 어구가 “you are it”인 것도 주의 깊게 들어보자.
박희성
‘맛깔난 잉글리시’ 필자 박희성 씨는 고려대에서 영어교육을 전공했다. 현재 메가유티 편입학원에서 다양한 온·오프라인 강의를 하고 있으며 7년째 에몽잉글리시(EmongEnglish.net)를 운영해 오고 있다. 국내 최대 수험생 커뮤니티인 <오르비>와 <네이버 카페 수만휘>에서 ‘에몽’이라는 필명으로 활동하고 있다. 영어로 어려움을 겪는 학생들에게 멘토이자 칼럼니스트로 많은 도움도 주고 있다. 대표 저서로는 『에몽의 수능영어 독해기술』『에몽의 영문법의 재발견』등이 있다.
▶ 개그우먼 배연정, '국밥' 팔아 하루 버는 돈이
▶ 이경규 딸, 라면 CF서 '폭풍 미모` 뽐내더니
▶ "야동 못 끊는 남편 어쩌죠" 女교수 대답이…
▶ '아빠 어디가' 출연 한 번에 2억5천만원 횡재
▶ 女비서 "사장님 몸종 노릇에…" 눈물 고백
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