하나고 조계성 쌤의 재미난 수학세계 - 아폴로니우스의 타원
‘두 점에 이르는 거리의 합이 일정한 점들로 이루어진 곡선을 타원이라고 하고 이 두 점을 타원의 초점이라고 한다.’ 고등학교 교과서에 쓰여진 타원의 정의다. 이 정의는 무척 딱딱하게 느껴질 뿐만 아니라 정의를 만족하는 도형의 모양이 좀처럼 머릿속에 잘 그려지지 않는다. 이와 대조적으로 원뿔을 모선보다 작은 기울기로 자를 때 생기는 단면의 모양으로 타원을 정의한 ‘아폴로니우스의 방법’은 타원에 대한 직관적 느낌을 훨씬 더 강하게 준다. 하지만 이 두 가지 정의는 겉으로 보기에 서로 관련이 없어 보인다. 이 두 가지 정의가 결국 같은 얘기라는 것은 수학적으로 확인할 가치가 있다.
그림과 같이 원뿔을 모선보다 작은 기울기로 자를 때, 자르는 평면과 원뿔에 동시에 접하는 두 개의 구(당드랑의 구·Danderin·1794～1847)를 이용하면 설명이 쉬워진다. 증명은 다음과 같다. 이 두 개의 구가 절단 평면과 접하는 접점을 각각 F, F'이라 하자. 자른 면 위의 임의의 점을 P라 하고 점 P에서 원뿔의 꼭짓점을 이은 직선과 두 구가 접하는 점을 각각 Q, R이라 하자. 구의 접선의 길이는 모두 같으므로 수식 1 .
따라서 점 P는 F, F'를 초점으로 하는 타원 위의 점이다.
타원은 여러 가지 방법으로 그 모양을 직접 만들 수 있는데 오늘은 그중에서 제일 간단한 방법을 소개한다. 독자 여러분도 이 방법을 따라 타원을 직접 만들어보기 바란다. 그리고 이렇게 만들어지는 도형이 타원의 정의에 들어맞는지 수학적으로 증명해보기 바란다.
(1) 그림과 같이 원 모양의 종이를 준비하여 원의 내부에 임의로 점을 한 개 찍는다.
(2) 종이를 접어 점이 원 둘레 위에 놓이도록 접었다 편다.
(3) 점을 지나는 원의 위치를 바꾸면서 여러 번 종이를 접었다 펴는 ②의 과정을 반복한다.
그림과 같이 원의 중심을 O, 임의로 찍은 한 점을 A, 종이를 접었을 때 점 A 와 포개어지는 원 위의 점을 A'이라고 하면 접은 선은 AA'의 수직이등분선이다.
접은 선과 원의 반지름 OA'의 교점을 P라고 하면 수식 2 즉, 접은 선에 따라 점 A'과 P의 위치가 달라지지만 점 P에서 두 점 O와 A에 이르는 거리의 합의 값은 원의 반지름의 길이로 일정하다. 즉, 점 P의 자취는 두 점 O와 A를 초점으로 하는 타원이다.
이번 호에서는 타원의 수학적 정의에 관한 얘기를 다뤘다. 다음 호에서는 타원의 광학적 성질에 대해 알아보도록 한다.
조계성
조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - Sophie's Choice…Inception…영어가 영화를 만나다
영화 제목, 영화 대사만큼 오랫동안 기억에 남는 것도 드문 것 같기에 영화 역시 최고의 영어 교재 중 하나가 될 수 있습니다~!!!
Sophie’s Choice(소피의 선택)
메릴 스트리프에게 여우주연상을 안겨주었던, 우리에게 많은 질문을 던져주는 명작 Sophie’s Choice는 이러지도 저러지도 못하는 상황을 뜻하는 표현으로 쓰입니다. 포로수용소에서 아들과 딸 중에 하나를 선택하면 그중 한 명만 살려주겠다는 독일군 장교의 악랄한 제안에, 차마 어느 쪽도 선택할 수 없었던 주인공 소피의 고뇌를 담은 표현입니다. 어떤 어머니가 과연 그 결정을 할 수 있을까요? ㅠ.ㅠ
비슷한 표현으로 Catch-22도 있습니다. Joseph Heller의 동명 소설 제목으로, 전쟁 당시 군법 제22항은 군대를 퇴역하려면 미쳐야 한다는 조항인데, 자신이 미쳤다는 것을 알 정도라면 그는 미친 사람일 리가 없고, 따라서 ‘제대 불가(不可)’인 이럴 수도 없고 저럴 수도 없는 딜레마를 뜻합니다. (참고로, catch에는 조항이라는 뜻도 있습니다)
No strings attached (친구와 연인 사이)
영어에 pull (the) strings라는 표현이 있는데 인형술사가 인형의 줄을 잡아당기면 인형이 움직인다는 상황에서 나온 표현으로 ‘배후 조종하다’라는 뜻입니다. 같은 원리로 no strings attached라고 하면 내 몸에 어떤 줄도 붙어있지 않으니 “아무 조건 없이”라는 뜻이 되겠지요.
애슈턴 커처와 내털리 포트먼이 주연한 영화 우리나라 제목 [친구와 연인사이]의 원제는 No strings attached입니다. 텝스 시험 정답으로도 자주 나오는 표현 중 하나인데, 이 영화를 아는 학생이라면 쉽게 맞출 수 있겠죠?^^*
Inception(인셉션)
리어나도 디캐프리오와 크리스토퍼 놀런 감독의 만남, 장자의 ‘호접지몽’을 매트릭스와 아바타와는 또 다른 언어로 풀어낸 최고의 영화인 Inception은 시작이란 뜻입니다. 텝스 시험에서는 겨우 beginning의 동의어로 시험에 나오는 이 단어를 이 위대한 영화의 제목으로 다시 만날 수 있다는 것은 분명 행운일 것 같습니다.
참고로 Inception은 영국에서 학위수여식이란 뜻으로도 사용되는데, 시작을 뜻하는 commencement가 졸업식이라는 뜻으로 쓰이는 것을 보면 다시 한 번 옛사람들의 삶에 대한 철학을 엿볼 수 있습니다. 끝이란, 또 다른 시작. 음미할수록, 정말 멋진 단어가 아닌가 싶습니다. 영어와 영화를 좋아하는 사람에게 극장에서의 2시간은 공부와 놀이를 동시에 하는 어쩌면 꿈같은 시간일지도 모르겠습니다.
배시원
배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
‘두 점에 이르는 거리의 합이 일정한 점들로 이루어진 곡선을 타원이라고 하고 이 두 점을 타원의 초점이라고 한다.’ 고등학교 교과서에 쓰여진 타원의 정의다. 이 정의는 무척 딱딱하게 느껴질 뿐만 아니라 정의를 만족하는 도형의 모양이 좀처럼 머릿속에 잘 그려지지 않는다. 이와 대조적으로 원뿔을 모선보다 작은 기울기로 자를 때 생기는 단면의 모양으로 타원을 정의한 ‘아폴로니우스의 방법’은 타원에 대한 직관적 느낌을 훨씬 더 강하게 준다. 하지만 이 두 가지 정의는 겉으로 보기에 서로 관련이 없어 보인다. 이 두 가지 정의가 결국 같은 얘기라는 것은 수학적으로 확인할 가치가 있다.
그림과 같이 원뿔을 모선보다 작은 기울기로 자를 때, 자르는 평면과 원뿔에 동시에 접하는 두 개의 구(당드랑의 구·Danderin·1794～1847)를 이용하면 설명이 쉬워진다. 증명은 다음과 같다. 이 두 개의 구가 절단 평면과 접하는 접점을 각각 F, F'이라 하자. 자른 면 위의 임의의 점을 P라 하고 점 P에서 원뿔의 꼭짓점을 이은 직선과 두 구가 접하는 점을 각각 Q, R이라 하자. 구의 접선의 길이는 모두 같으므로 수식 1 .따라서 점 P는 F, F'를 초점으로 하는 타원 위의 점이다.
타원은 여러 가지 방법으로 그 모양을 직접 만들 수 있는데 오늘은 그중에서 제일 간단한 방법을 소개한다. 독자 여러분도 이 방법을 따라 타원을 직접 만들어보기 바란다. 그리고 이렇게 만들어지는 도형이 타원의 정의에 들어맞는지 수학적으로 증명해보기 바란다.
(1) 그림과 같이 원 모양의 종이를 준비하여 원의 내부에 임의로 점을 한 개 찍는다.
(2) 종이를 접어 점이 원 둘레 위에 놓이도록 접었다 편다.
(3) 점을 지나는 원의 위치를 바꾸면서 여러 번 종이를 접었다 펴는 ②의 과정을 반복한다.
그림과 같이 원의 중심을 O, 임의로 찍은 한 점을 A, 종이를 접었을 때 점 A 와 포개어지는 원 위의 점을 A'이라고 하면 접은 선은 AA'의 수직이등분선이다.접은 선과 원의 반지름 OA'의 교점을 P라고 하면 수식 2 즉, 접은 선에 따라 점 A'과 P의 위치가 달라지지만 점 P에서 두 점 O와 A에 이르는 거리의 합의 값은 원의 반지름의 길이로 일정하다. 즉, 점 P의 자취는 두 점 O와 A를 초점으로 하는 타원이다.
이번 호에서는 타원의 수학적 정의에 관한 얘기를 다뤘다. 다음 호에서는 타원의 광학적 성질에 대해 알아보도록 한다.
조계성조계성 선생님은 현재 하나고 에 근무하신다. 명덕외고, 대성학원에서도 수학을 가르쳤다. 전국연합모의고사 출제위원도 맡고 있다. 서울대에서 수학교육을 전공했으며 연세대에서 수학교육으로 석사학위를 받았다. 저서로는 ‘개념+유형 시리즈’ 등 다수가 있다.
배시원 쌤의 신나는 영어여행 - Sophie's Choice…Inception…영어가 영화를 만나다
영화 제목, 영화 대사만큼 오랫동안 기억에 남는 것도 드문 것 같기에 영화 역시 최고의 영어 교재 중 하나가 될 수 있습니다~!!!
Sophie’s Choice(소피의 선택)
메릴 스트리프에게 여우주연상을 안겨주었던, 우리에게 많은 질문을 던져주는 명작 Sophie’s Choice는 이러지도 저러지도 못하는 상황을 뜻하는 표현으로 쓰입니다. 포로수용소에서 아들과 딸 중에 하나를 선택하면 그중 한 명만 살려주겠다는 독일군 장교의 악랄한 제안에, 차마 어느 쪽도 선택할 수 없었던 주인공 소피의 고뇌를 담은 표현입니다. 어떤 어머니가 과연 그 결정을 할 수 있을까요? ㅠ.ㅠ
비슷한 표현으로 Catch-22도 있습니다. Joseph Heller의 동명 소설 제목으로, 전쟁 당시 군법 제22항은 군대를 퇴역하려면 미쳐야 한다는 조항인데, 자신이 미쳤다는 것을 알 정도라면 그는 미친 사람일 리가 없고, 따라서 ‘제대 불가(不可)’인 이럴 수도 없고 저럴 수도 없는 딜레마를 뜻합니다. (참고로, catch에는 조항이라는 뜻도 있습니다)
No strings attached (친구와 연인 사이)
영어에 pull (the) strings라는 표현이 있는데 인형술사가 인형의 줄을 잡아당기면 인형이 움직인다는 상황에서 나온 표현으로 ‘배후 조종하다’라는 뜻입니다. 같은 원리로 no strings attached라고 하면 내 몸에 어떤 줄도 붙어있지 않으니 “아무 조건 없이”라는 뜻이 되겠지요.
애슈턴 커처와 내털리 포트먼이 주연한 영화 우리나라 제목 [친구와 연인사이]의 원제는 No strings attached입니다. 텝스 시험 정답으로도 자주 나오는 표현 중 하나인데, 이 영화를 아는 학생이라면 쉽게 맞출 수 있겠죠?^^*
Inception(인셉션)리어나도 디캐프리오와 크리스토퍼 놀런 감독의 만남, 장자의 ‘호접지몽’을 매트릭스와 아바타와는 또 다른 언어로 풀어낸 최고의 영화인 Inception은 시작이란 뜻입니다. 텝스 시험에서는 겨우 beginning의 동의어로 시험에 나오는 이 단어를 이 위대한 영화의 제목으로 다시 만날 수 있다는 것은 분명 행운일 것 같습니다.
참고로 Inception은 영국에서 학위수여식이란 뜻으로도 사용되는데, 시작을 뜻하는 commencement가 졸업식이라는 뜻으로 쓰이는 것을 보면 다시 한 번 옛사람들의 삶에 대한 철학을 엿볼 수 있습니다. 끝이란, 또 다른 시작. 음미할수록, 정말 멋진 단어가 아닌가 싶습니다. 영어와 영화를 좋아하는 사람에게 극장에서의 2시간은 공부와 놀이를 동시에 하는 어쩌면 꿈같은 시간일지도 모르겠습니다.
배시원배시원 선생님은 호주 맥쿼리대 통번역 대학원에서 석사학위를 받았으며 현재 배시원 영어교실 원장을 맡고 있다. 김영 편입학원, YBM, ANC 승무원학원 등에서 토익·토플을 강의했다. 고려대 성균관대 등 대학에서도 토익·토플을 가르치고, 한영외고 중앙고 숭문고 등에서 방과후 텝스를 강의했다.
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